مواضيع البكالوريا

BAC,

تحضير البكالوريا  **القسمة الإقليدية والموافقة في z***

Z القسمة الإقليدية في مجموعة الأعداد الصحيحة

Z والموافقات في

الكفاءات المستهدفة :

- معرفة و تحديد حاصل القسمة الإقليدية و باقيها.

- حصر عددين مضاعفين متعاقبين لعدد صحيح.

- تعيين مجموعة قواسم عدد طبيعي.

.(n - معرفة قوانين عددين صحيحين (أو موافقة عدد لعدد بترديد

- معرفة خواص الموافقة و استعمالها في حل مشاكل.

تصميم الدرس

.Z القسمة الإقليدية في مجموعة الأعداد الصحيحة - I

Z الموافقات في المجموعة -II

Z تمارين و مشكلات حول القسمة الإقليدية و الموافقات في

حلول التمارين

التشفير -III

تمارين ومشكلات

(Z الموافقات في ) II تمارين ومشكلات حول الوحدة

حلول التمارين

Z القسمة الإقليدية في مجموعة الأعداد الصحيحة – I

الأنشطة :

النشاط الأول : ♦

المعطيات و الأسئلة :

. 3 هي مجموعة مضاعفات العدد 3 Z المجموعة

- -3 هي مجموعة مضاعفات العدد 3 Z و المجموعة

-3 متساويتان. Z 3 و Z نريد تبيان أن المجموعتين

النشاط الثاني : ♦

المعطيات و الأسئلة :

r􀂏 N و q􀂏 Z حيث (q,r) عين القسمة الإقليدية للعدد 730 على 8 مستنتجا أنه توجد ثنائية

730= 18q + r مع r < و 18

النشاط الثالث : ♦

المعطيات و الأسئلة :

أعط كل قواسم العدد 36

الأجوبة :

• النشاط الأول :

Z عنصرا من k 3 تكتب من الشكل : حيث Z مجموعة عناصر المجموعة

-3 تكتب من الشكل : Z و مجموعة عناصر المجموعة

.Z عنصرا من k’ حيث

-3Z 3 هو عنصرا من Z من x 3 يكفي أن نبين أن عنصرا Z = -3Z و مجموعة عناصر المجموعة

3Z -3 هو عنصرا من Z من x كذلك عنصرا

k􀂏Z 3: حيث k يكتب من الشكل x إذن x􀂏 3Z نفرض

k’ = -k إذن بوضع x= -(-3k) ومنه x=3k

x= -3k' إذن x= -3(-k) أي

x􀂏-3Z و عليه

k’􀂏 Z -3 حيث k’: يكتب من الشكل x إذن x􀂏-3Z و بالمثل نفرض

-k’ = k بوضع x= 3(-k' ) ومنه x= -3k’

x􀂏3Z أي x=3k إذن

-3Z =3Z و على ذلك نكون قد برهنا أن

- أي مجموعات مضاعفات العدد 3 تساوي مجموعة مضاعفات العدد 3

• النشاط الثاني :

نقسم 730 على 730 18 18

10 40 730= 40x18+ إذن 10

10< 10 و 18 􀂏N لاحظ أن

730= 18q + r : و بالمطابقة مع المساواة

r= وَ 10 q= نجد 40

هو( 40,10 ) و هو زوجا وحيدا. (q,r) إذن الزوج

*نتيجة :

.Z بالقسمة الإقليدية في المجموعة (q,r) نسمي عملية إيجاد ثنائية

•النشاط الثالث :

نحلل العدد 36 إلى جداء عوامله الأولية 36 2

18 2 36= 2² x 3² إذن

لاحظ أن أس العدد 2 هو 9 3 2

لاحظ أن أس العدد 3 هو 3 3 2

1 (2+1)(2+1) = و لنا 9

العدد 9 هو عدد قواسم العدد 36

: تعيين قواسم العدد 36

لاحظ أن قوى العدد 2 هي 22 ، 21 ، 20

كذلك قوى العدد 3 هي 32 ، 31 ، 30

إذا أخذنا جداء أي عنصرين من تحليل العدد 36 نتحصل على أحد قواسم العدد 36 مثل :

20 x 30 = 1

20 x 31 = 3

20 x 32 = 9

21 x 30 = 2

21 x 31 = 6

21 x 32 = 18

22 x 30 = 4

22 x 31 = 12

22 x 32 = 36

E إذن قواسم العدد 36 هي عناصر المجموعة

E= { حيث { 1,2,3,4,6,9,12,18,36

. هناك 9 قواسم للعدد 36 من بينهم العدد 1 و العدد 36

*ملاحظة :

عدد قواسم عدد طبيعي :

A=a􀁄b􀁅c􀁇: كل عدد طبيعي غير أولي أكبر من 1 يحلل إلى جداء عوامل أولية من الشكل

أعداد طبيعية 􀁄 ,􀁅 ,􀁇 أعداد أولية و c,b,a حيث

(􀁄+1)(􀁅+1)(􀁇+ هو : ( 1 A عدد قواسم

: Z و N -1 تذكير ببعض خواص المجموعتين

هي Z هي مجموعة الأعداد الطبيعية {.……, 0,1,2,3 } و مجموعة الأعداد الصحيحة N المجموعة

{….,-3,-2,- مجموعة الأعداد : {..…, 1,0,1,2,3

N􀂍Z - لاحظ أن

هي A={ غير خالية تقبل عنصرا أصغر مثل المجموعة { 3,6,9,12 N - كل مجموعة جزئية من

عنصرها الأصغر هو 3 N جزء من

. عنصرها الأصغر هو 1 N مجموعة الأعداد الفردية من B - المجموعة

*ملاحظة :

ليس لها عنصرا أصغر بالضرورة Z المجموعة الجزئية من

􀁀 -􀁶 , 3􀁀 مثل المجموعة

-2 قابلية القسمة :

تعريف :

عددان صحيحان b,a ليكن

. b هو قاسما للعدد a هو مضاعفا للعدد b نقول أن b=k . a حيث k إذا وجد عدد صحيح

*ملاحظة :

.b يقسم a و تقرأ a/b نكتب b هو قاسما للعدد a للقول أن

مثال :

72 تبين أن 8 قاسما للعدد 72 كذلك قاسما للعدد 72 و نقول أن 9 ، 8 هما قاسمان = 8 x المساواة 9

.9/ 8 و 72 / للعدد 72 أي : 72

: Z -3 القسمة الإقليدية في

مبرهنة (مقبولة) و تعريف :

r􀂏 N و q􀂏 Z حيث (q,r) عددا طبيعيا غير معدوما توجد ثنائية b عددا صحيحا و a ليكن

r

هو المقسوم a

هو القاسم (أو المقسوم عليه) b

باقيها r هو حاصل القسمة و q

b على a هو ناتج القسمة الإقليدية للعدد (q,r) نقول أن الزوج الوحيد

: مثال 1

القسمة الإقليدية للعدد 614 على 37 تكتب

614 = 37 x 16 + 22

22< مع 37 (q,r) = ( و منه ( 16,22

: مثال 2

القسمة الإقليدية للعدد ( 786 -) على 45

786 + و بضرب طرفي المعادلة في ( 1-) نجد : = 45(+16) + نكتب 11

-786 = 45 (-16) -11

لكن 11 - غير مقبول كباقي لأنه سالبا و عليه نتبع الخطوات التالية :

-786 = 45(-16)-45 + 45 -11

-786 = 45(-16-1)+(45-11)

-786 = 45(-17)+34

34< مع 45 r = و 34 q = - و منه 17

؟ على 7 x² على 7 هو 2 ما هو باقي قسمة x تطبيق : إذا كان باقي القسمة الإقليدية للعدد الصحيح

الأجوبة :

x = 7q + لدينا : 2

x² = (7q + 2)² : و منه

x² = 7(7q² + 4 q) + و منه 4 x² = 49 q² + 28q + أي 4

x² = 7q’ + نجد 4 q’ = 7q² + 4q و بوضع

. على 7 هو 4 x² 7 إذن باقي قسمة العدد > و 4

-4 تعيين باقي القسمة الإقليدية باستعمال الآلة الحاسبة :

Z لإنجازالقسمةالإقليدية          في